Conjuntos: (7) Producto Cartesiano

El Producto Cartesiano de conjuntos es una operación que se puede realizar entre ellos y cuyo resultado es otro conjunto cuyos elementos son pares ordenados.

Un par ordenado es una forma de representar una pareja de elementos de de dos conjuntos. Pueden servir para representar muchas cosas, por ejemplo fracciones: la fracción a/b se puede representar por (a,b)

DEFINICION: Dados dos conjunto A y B se llama par ordenado a toda pareja de elementos x, perteneciente a A, e y, perteneciente a B, y se representa de la forma (x, y), en la que el elemento situado a la izquierda es el elemento del conjunto A y el primero del par y el situado a la derecha el elemento del conjunto B y el segundo del par.

DEFINICION: Dados dos conjuntos A y B se llama Producto de A por B, y se representa de la forma A X B, al conjunto formado por los pares ordenados {(x, y)}, en donde el primer elemento de cada par pertenece a A y el segundo a B.

Ej: sea A = { 1, 2, 3 } y B = { a, b, c, d }

A X B = { (1,a), (1,b), (1,c), (1,d), (2,a), (2,b), (2,c), (2,d), (3,a), (3,b), (3,c), (3,d) }

A X B no es igual a B X A, ya que (x,y) no es igual a (y,x), por lo que el producto cartesiano en general no cumple la propiedad conmutativa.

PROPIEDADES

  1. Distributiva con respecto a la Unión.
    • A X (B È C) = (A X B) È (A X C)
    • (B È C) X A = (B X A) È (C X A)
  2. Distributiva con respecto a la Intersección.
    • (B Ç C) X A = (A X B) Ç (A X C)
    • (B Ç C) X A = (B X C) Ç (B X A)
  3. Distributiva con respecto a la Implicación.
    • Si A’ Í A y B’ Í B => A’ X B’ Í A X B

DEFINICION: Si M Í A X B y (x,y) Î M, se llama proyección de (x,y) sobre A al elemento x y proyección de (x,y) sobre B al elemento y.

proyAM = x y proyBM = y

DEFINICION: Al conjunto de todas las proyecciones sobre A de los elementos de M se le llama proyección de M sobre A y, de forma análoga, al conjunto de todas las proyecciones sobre B de los elementos de M se le llama proyección de M sobre B. Se verifica que proyAM Í A y que proyBM Í B

El producto cartesiano se puede aplicar a varios conjuntos.

DEFINICION: Dados varios conjuntos, A1, A2, A3,…,An, se llama producto cartesiano A1 X A2 X A3 X … X An, al conjunto de todos los conjuntos ordenados (x1, x2, x3,…,xn), en donde x1 Î A1, x2 Î A2, x3 Î A3, … , xn Î An.

El Producto de conjuntos cumple con la propiedad asociativa (A X B) X C = A X (B X C) = A X B X C.

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Published in: on 12-abril-2008 at 11:07 am  Dejar un comentario  
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