Aritmética (1). Números Naturales

La Aritmética es la parte de la ciencia Matemática que estudia los Números, sus propiedades y las operaciones que pueden llevarse a cabo con ellos.

El concepto de Número surge de la intuición humana de Unidad, base fundamental de todo sistema que tenga en cuenta los números.

El inicio de la Aritmética está en la necesidad que se le plantea al hombre de medir los objetos y las agrupaciones de objetos (conjuntos) que hay a su alrededor. Esta medida de cantidades es la acción de Contar. Es para contar para lo que el hombre necesita los números. Contar el número de elementos de los conjuntos de objetos que tiene a su alrededor. Usamos pues los números constantemente: para medir, para expresar porcentajes, para llamar por teléfono, para comunicarnos precios, cantidades, etc..

Los números que usamos para contar objetos son los llamados Números Naturales: 1,2,3,4,.. Los números naturales han existido desde la más remota antigüedad, porque el concepto de Unidad es algo intuitivo y contar esas unidades era una necesidad elemental.

El acercamiento al concepto de número se lleva a cabo desde el conocimiento generado por tres teorías:

  1. Teoría Analítica. Explica todos los tipos de números a partir de la noción de Número Natural. Según esta teoría, todas las clases de números, definidas como pares creados en un conjunto a partir de una relación precisa, derivan del Número Natural. De esta manera, los números Enteros pueden ser vistos como pares de números naturales y los números Racionales, como pares de las distintas clases de números Enteros.
  2. Teoría Sintética. Define las operaciones aritméticas como imágenes de las operaciones que se pueden llevar a cabo con conjuntos.
  3. Teoría Axiomática. Llamada también Axiomática del Número Natural, porque toma su base de un conjunto de axiomas sobre los que se construyen las definiciones de las operaciones con números naturales. Este cuerpo teórico enuncia que en el conjunto de los números naturales (N) existe un elemento 1 que se llama uno que es el primero de una sucesión del cual no existen elementos predecesores. Tomando el elemento uno como punto de partida, se obtienen todos los demás, que se construyen por medio del recurso de añadir una unidad al elemento predecesor.

Cada civilización ha escrito los números de manera diferente: Los egipcios lo hacían mediante símbolos jeroglíficos, los babilonios, con su escritura cuneiforme, los romanos, con un sistema de letras, los mayas utilizando puntos y líneas horizontales.

No sólo los símbolos usados eran diferentes, también el modo mismo de representarlos: unos usaban el sistema sexagesimal, otros el de base 20, etc.

El sistema de numeración que utilizamos es el Decimal Posicional, con cifras del 1 al 9, que tuvo su origen en la India en el siglo IX, aunque a nosotros nos llegó de la mano de los árabes hacia el siglo X.

El Número Cero es el que representa el número de elementos del Conjunto Vacío, es decir, la ausencia de objetos. Tardó algunos años en descubrirse. Si finalmente surgió, fue más por una necesidad para resolver los problemas concretos de escritura y manipulación de los números que como necesidad para contar. Desde su invención, el cero forma parte también de los Números Naturales.

Para representar el conjunto de todos los Números Naturales se usa la letra N:

N = {0, 1, 2, 3, …}

Los Números naturales tienen una propiedad fundamental: cada número tiene su siguiente. Los conjuntos que tienen esta propiedad de que sus elementos pueden enumerarse empezando por uno de ellos, de modo que cada uno tenga un siguiente perfectamente definido, se llaman “numerables“.

Una consecuencia importante de la propiedad de numerabilidad es que hay infinitos números naturales. Siempre podemos seguir contando, añadir uno más. Con esto tocamos un tema difícil de entender: el concepto de Infinito. Todas las cantidades que pretendamos contar en la naturaleza son finitas, por lo que el Infinito no es necesario para contar.

Otra propiedad importante de los números naturales es que están ordenados. tomados dos números cualesquiera, siempre hay uno de ellos que es mayor que el otro.

Published in: on 25-abril-2008 at 5:23 pm  Dejar un comentario  
Tags: , , , ,

La Aritmética de Diofanto (1)

Voy a abrir una nueva categoría dedicada a la Aritmética de Diofanto ya que es uno de los primeros matemáticos que más problemas interesantes planteó. Fue estudiado por todos los grandes matemáticos y en un libro de una de sus traducciones escribió Fermat su último y famoso Teorema.

Aunque es más bien una colección de problemas más que un libro de teoría, es interesante ir paseando por los problemas tratando de sacarles todo el jugo a la teoría subyacente.

La dedicatoria de la Aritmética está dirigida a Dionisio:

“Como sé muy honorable dionisio, que quieres aprender a resolver problemas numéricos, he emprendido la tarea de exponer la naturaleza y el poder de los números, comenzando por los fundamentos en  los que se basan estas cuestiones. Esto puede parecer, a primera vista, muy difícil, porque no es en absoluto conocido todavía. Los principiantes son propicios a desanimarse fácilmente. pero a tí te será fácil entender el tema gracias a tu entusiasmo y a mis explicaciones, ya que deseo unido a la enseñanza conduce rápidamente al conocimiento …”

Diofanto empieza su libro, después de la dedicatoria dando algunas definiciones que resultan bastantes obvias hoy en día, como las definiciones de cuadrados, cubos, incógnitas, constante, fracciones, multiplicaciones, ecuaciones, etc… utilizando una notación propia, que no merece la pena contar aquí, pues no se corresponde con la notación que utilizamos hoy en día.

Lo mejor es pasar directamente a los problemas que sí son interesantes:

PROBLEMA 1

Descomponer un número (entero) dado en dos partes (enteras) cuya diferencia sea dada

Es decir:   Determinar x e y, dados a y d en las ecuaciones: x + y = a ; x – y = d

es un ejemplo claro de un sistema de dos ecuaciones lineales con 2 incógnitas, por lo que es sencillo de resolver:

de la primera ecuación obtenemos y = a – x y sustituyendo en la segunda ecuación obtenemos: x – (a – x) = d

lo que implica que 2x -a = d => x = (a + d) / 2

sustituyendo en la segunda ecuación resulta: (a + d) / 2 – y = d => (a + d) – 2y = 2d => a + d – 2d = 2y => y = (a – d)/2

Un ejercicio interesante de realizar a partir de este problema es averiguar qué condiciones deben cumplir a y d para que las soluciones x e y sean enteras.

¿Se atreve alguien a proporcionar la solución en un comentario?

El problema se puede generalizar a cualquier número de partes, es decir:

Descomponer un número (entero) dado en un número de partes (enteras) cuyas diferencias mutuas sean dadas

Es decir:   Determinar x1 < x2 <…< xn, dados a y d2,..dn, en las ecuaciones:

x1 + x2 +…+ xn, = a

xj – x1 = dj (j= 2, …, n)

en este caso es un ejemplo de sistema de n ecuaciones con n incógnitas:

¿Se atreve alguien a resolverlo en un comentario?

Diofanto de Alejandría

Diofanto de Alejandría (Diophanti Alexandrini) (nacido alrededor del 200/214 – fallecido alrededor de 284/298) fue un antiguo matemático griego. Se considera a Diofanto el padre del álgebra.

Es mejor conocido por su Aritmética, un trabajo sobre la solución de ecuaciones algebraicas y sobre la teoría de números. sin embargo se sabe muy poco sobre su vida y ha existido mucho debate con respecto a la época en la que vivió.

Nacido en Alejandría, nada se conoce con seguridad sobre su vida salvo la edad a la que falleció, gracias a este epitafio redactado en forma de problema y conservado en la antología griega:

“Transeúnte, esta es la tumba de Diofanto: es él quien con esta sorprendente distribución te dice el número de años que vivió. Su niñez ocupó la sexta parte de su vida; después, durante la doceava parte su mejilla se cubrió con el primer bozo. Pasó aún una séptima parte de su vida antes de tomar esposa y, cinco años después, tuvo un precioso niño que, una vez alcanzada la mitad de la edad de su padre, pereció de una muerte desgraciada. Su padre tuvo que sobrevivirle, llorándole, durante cuatro años. De todo esto se deduce su edad.”
 \frac {x} {6} + \frac {x} {12} + \frac {x} {7} +  5 + \frac {x} {2} + 4 = x donde x es la edad que vivió Diofanto
 \frac {14x + 7x + 12x + 42x} {84} + 9 = x
 \frac {75x} {84} = x - 9
75x = 84x – 756
756 = 9x
x = 84

Según esto, Diofanto falleció a la edad de 84 años. Se ignora, sin embargo en qué siglo vivió.

Diofanto cita la definición de un número poligonal a partir del trabajo de Hipsicles, de modo que se sabe a ciencia cierta que eso lo escribió después del año 150 a.c. Por otra parte Teón, padre de Hipatia, cita una de las definiciones de Diofanto, lo cual significa que Diofanto lo escribió antes del 350 d.c., lo cual deja un lapso de tiempo demasiado grande entre ambas fechas 500 años.

Si es el mismo astrónomo Diofanto que comentó Hipatia (fallecida en 415), habría fallecido antes del siglo V, pero si se trata de personas distintas cabe pensar que vivía a finales de dicho siglo, ya que ni Proclo ni Papo le citan, lo que resulta difícil de entender tratándose de un matemático que pasa por ser el inventor del álgebra. En opinión de Albufaraga, Diofanto vivía en los tiempos del emperador Juliano, hacia 365, fecha que aceptan los historiadores.

Otros historiadores consideran a partir de una carta de Diofanto a Anatolio, que parece que era el Obispo de Laodicea en el año 280 y que fue su discípulo, que vivió en el siglo III.

A partir de la dedicatoria de la aritmética que está dirigida a Dionisio, que podría tratarse del Obispo de Alejandría que vivió en el año 247 d.c., también podría deducirse que vivió en el siglo III.

El matemático alejandrino debe su renombre a su obra Arithmetica. Este libro, que constaba de trece libros de los que sólo se han hallado seis, fue publicado por Guilielmus Xylander en 1575 a partir de unos manuscritos de la universidad de Wittenberg, añadiendo el editor un manuscrito sobre números poligonales, fragmento de otro tratado del mismo autor. Los libros faltantes parece que se perdieron tempranamente ya que no hay razones para suponer que los traductores y comentaristas árabes dispusieran de otros manuscritos además de los que aún se conservan.

En esta obra realiza sus estudios de ecuaciones con variables que tienen un valor racional (ecuaciones diofánticas), aunque no es una obra de carácter teórico sino una colección de problemas. Importante fue también su contribución en el campo de la notación; si bien los símbolos empleados por Diofanto no son como los concebimos actualmente, introdujo importantes novedades como el empleo de un símbolo único para la variable desconocida (στ) y para la sustracción, aunque conservó las abreviaturas para las potencias de la incógnita (δς para el cuadrado, δδς para el duplo del cuadrado, χς para el cubo, δχς para la quinta potencia, etc.).

En 1621 vio la luz una edición comentada de Bachet de Meziriac, edición reimpresa con posterioridad en 1670 por el hijo de Pierre de Fermat incluyendo los comentarios que el célebre matemático francés había realizado en los márgenes de un ejemplar de la edición de Bachet que poseía. En una de dichas anotaciones se exponía, sin demostración, el último teorema de Fermat.

Obtenido de “http://es.wikipedia.org/wiki/Diofanto_de_Alejandr%C3%ADa

Una de las contribuciones importantes de Diofanto corresponde al campo de la notación. Los historiadores de la matemática distinguen tradicionalmente tres etapas en el desarrollo del álgebra: palabras, (b) la etapa intermedia o sincopada , en la cual se utilizan algunas abreviaturas y (c) la etapa final o simbólica. El álgebra de Diofanto se ubica de plano en la segunda de estas categorías. Los signos utilizados en la Arithmetica no son, en realidad, símbolos algebraicos, como los concebimos actualmente, sino abreviaturas (por ejemplo, para cada potencia de la incógnita existía un signo especial).

De él ha llegado hasta nosotros Sobre los números poligonales (o Numeris Multangulis), Porismas (que se cree formaba parte de la Arithmetica), Sobre los números fraccionarios y la Arithmetica.

La Arithmetica no es propiamente un texto de álgebra sino una colección de problemas (150). No se sabe cuantos de ellos son originales o tomados de otros tratados de la época; Diofanto presenta en todos ellos una solución única y no establece distinción entre problemas determinados e indeterminados. Tampoco existe ningún orden en cuanto a la naturaleza de los problemas o los métodos de resolución

  Arithmetica Libro I   Contiene 25 problemas de primer grado y 14 de segundo.

  Arithmetica Libro II   Consta de 35 problemas. El problema 8, sin duda el más famoso, dió lugar al llamado “teorema de Fermat”

II. 8 Descomponer un cuadrado en dos cuadrados
“Si queremos descomponer 16 en dos cuadrados y suponemos que el primero es 1 aritmo, el otro tendrá 16 unidades menos un cuadrado de aritmo, y, por tanto, 16 unidades menos un cuadrado de aritmo son un cuadrado.
Formenos un cuadrado de un conjunto cualquiera de aritmos disminuido en tantas unidades como tiene la raiz de 16 unidades, y sea el cuadrado de 2 aritmos menos 4 unidades. Este ciadrado tendrá cuatro cuadrados de aritmo y 16 unidades menos 16 aritmos, que igualaremos a 16 unidades menos un cuadrado de aritmo y sumando a uno y otro lado los téminos negativos y restando los semejantes, resulta que 5 cuadrados de aritmo equivalen a 16 aritmos y, por tanto, 1 airtmo vale 16/5; luego uno de los números es 256/25 y otro 144/25, cuya suma es 400/25, es decir 16 unidades y cada uno de ellos es un cuadrado”

Diofanto resuelve la ecuación

x 2 + x 2 = 16

haciendo y 2 = 16 – a 2 que identifica con una expresión de la forma (ka – 4) 2 y haciendo k = 2 obtiene

y 2 = 16 – a 2 = (2a – 4) 2

e identificando llega a a = 16/5 de donde x = 16/5 e y = 12/5

  Arithmetica Libro III   Consta de 21 problemas. El más famoso es el 19 en el que por primera vez acude a la geometría para solucionarlo.
III. 19 Encontrar cuatro números tales que el cuadrado de la suma de los cuatro, aumentado o disminuido en cada uno de ellos, forma un cuadrado.

  Arithmetica Libro IV   Casi todos los problemas de este libro (40) se refieren a números cúbicos. Como lo griegos no conocían las fórmula de la ecuación cúbica, la sagaz elección de los datos por parte de Diofanto hace que se llegue a una solución aceptable. Y como muestra un botón
IV. 1 Descomponer un número dado en dos cubos cuya suma de raíces sea dada
“Si el número es 370 y la suma de las raíces 10, supongamos que la raíz del primer cubo es 1 aritmo y 5 unidades, o sea: la mitad de la suma de las raíces. Por tanto, la raíz del otro cubo será 5 unidades menos 1 aritmo; luego la suma de los cubos valdrá 30 cuadrados de aritmo más 250 unidades que igualaremos a las 370 unidades del número dado, de donde se deduce que 1 aritmo tiene 2 unidades; la raíz del primer cubo tendrá entonces 7 y la del segundo 3, y, por consiguientes, los cubos serán 343 y 27″

Con la notación actual, Diofanto resuelve el sistema formado por las ecuaciones

x 3 + y 3 = 370
x + y = 10

Para lo que supone que x = aritmo + 5 y que y = 5 – aritmo . (en lo que sigue designaremos el aritmo por a).
Sustituyendo estas expresiones en la primera ecuación y desarrollando tendremos:

(a + 5) 3 + (5 – a) 3 = 30 a 2 + 250 = 370

y para a = 2 obtiene x = 7, y = 3.

  Arithmetica Libro V   La mayoría de los problemas propuestos (28 de los 30 que tiene el libro) son problemas de segundo y tercer grado. En el último, el 30, Diofanto se aparta de su costumbre y propone un problema de los que hoy denominaríamos de “mezclas”
V. 30 Una persona se embarcó con sus sirvientes, quienes le encargaron que les fuera útil. Mezcló garrafas de vino, unas de 8 dracmas y otras de 5, y pagó por todo un número cuadrado que, aumentado en el número de unidades que se te indicará, 60, hará que tengas otro cuadrado cuya raíz es el número total de garrafas. Averigua cuántas había de 8 y cuántas de 5 dracmas”

  Arithmetica Libro VI  . Dedicado a resolver triángulos rectángulos de lados racionales; consta de 24 problemas.

En honor de Diofanto las ecuaciones con coeficientes enteros cuyas soluciones son también enteras se denominan ecuaciones diofánticas. Las más sencillas son las ecuaciones lineales con dos incógnitas de la forma Ax ± By = C

Diofanto, Fermat y la Arithmetica han estado estrechamente relacionados a lo largo de la historia de las matemáticas. Todo empezó cuando Fermat, en su ejemplar de la Arithmetica, escribió al lado del problema 8 del Libro II:

Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere cuius demostrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet

Es decir, que la ecuación

x n + y n = z n

no tiene soluciones enteras para n > 2.
En el caso n = 2 una solución es
(x, y, z) = (3, 4, 5) y ya se conocía desde la Grecia clásica.
En general pueden obtenerse estas ternas, denominadas pitagóricas, a partir de la expresión

x = 2n + 1
y = 2n 2 + 2n
z = 2n 2 + 2n + 1

para n = 1, 2, 3, …
En Euclides. Elementos X 28 Lema I aparece la expresión general de estas ternas:

x = a 2 – b 2
y = 2ab
z = a 2 + b 2

Sin embargo, la demostración de esta proposición ha sido, hasta hace poco, el problema más famoso, al menos más popular, de las matemáticas y a su resolución se haya unido el nombre de grandes matemáticos.
Al mismo Fermat se le atribuye una demostración para el caso n = 4 y a Euler una para n = 3. Dirichlet (1805-1859) y Legendre (1752-1833) también intevinieron y probaron la proposición para n = 5
Y muchos otros como Sophie Germain, Lamé, Kummer, Gerd Faltings (que por sus aportaciones recibió en 1986 una medalla Fields) pero esta columna es demasiado estrecha para contenerlos a todos. En 1995 el inglés Andrew Wiles lo logró para unos y es discutible para otros.

Conjuntos: (7) Producto Cartesiano

El Producto Cartesiano de conjuntos es una operación que se puede realizar entre ellos y cuyo resultado es otro conjunto cuyos elementos son pares ordenados.

Un par ordenado es una forma de representar una pareja de elementos de de dos conjuntos. Pueden servir para representar muchas cosas, por ejemplo fracciones: la fracción a/b se puede representar por (a,b)

DEFINICION: Dados dos conjunto A y B se llama par ordenado a toda pareja de elementos x, perteneciente a A, e y, perteneciente a B, y se representa de la forma (x, y), en la que el elemento situado a la izquierda es el elemento del conjunto A y el primero del par y el situado a la derecha el elemento del conjunto B y el segundo del par.

DEFINICION: Dados dos conjuntos A y B se llama Producto de A por B, y se representa de la forma A X B, al conjunto formado por los pares ordenados {(x, y)}, en donde el primer elemento de cada par pertenece a A y el segundo a B.

Ej: sea A = { 1, 2, 3 } y B = { a, b, c, d }

A X B = { (1,a), (1,b), (1,c), (1,d), (2,a), (2,b), (2,c), (2,d), (3,a), (3,b), (3,c), (3,d) }

A X B no es igual a B X A, ya que (x,y) no es igual a (y,x), por lo que el producto cartesiano en general no cumple la propiedad conmutativa.

PROPIEDADES

  1. Distributiva con respecto a la Unión.
    • A X (B È C) = (A X B) È (A X C)
    • (B È C) X A = (B X A) È (C X A)
  2. Distributiva con respecto a la Intersección.
    • (B Ç C) X A = (A X B) Ç (A X C)
    • (B Ç C) X A = (B X C) Ç (B X A)
  3. Distributiva con respecto a la Implicación.
    • Si A’ Í A y B’ Í B => A’ X B’ Í A X B

DEFINICION: Si M Í A X B y (x,y) Î M, se llama proyección de (x,y) sobre A al elemento x y proyección de (x,y) sobre B al elemento y.

proyAM = x y proyBM = y

DEFINICION: Al conjunto de todas las proyecciones sobre A de los elementos de M se le llama proyección de M sobre A y, de forma análoga, al conjunto de todas las proyecciones sobre B de los elementos de M se le llama proyección de M sobre B. Se verifica que proyAM Í A y que proyBM Í B

El producto cartesiano se puede aplicar a varios conjuntos.

DEFINICION: Dados varios conjuntos, A1, A2, A3,…,An, se llama producto cartesiano A1 X A2 X A3 X … X An, al conjunto de todos los conjuntos ordenados (x1, x2, x3,…,xn), en donde x1 Î A1, x2 Î A2, x3 Î A3, … , xn Î An.

El Producto de conjuntos cumple con la propiedad asociativa (A X B) X C = A X (B X C) = A X B X C.

Published in: on 12-abril-2008 at 11:07 am  Dejar un comentario  
Tags: , , , , ,

Aristóteles

clip_image001 Aristóteles (en griego clásico Ἀριστοτέλης Aristotélēs, griego moderno Αριστοτέλης Aristotélis; (Estagira, Macedonia 384 adCCalcis Eubea, Grecia 322 adC) es uno de los más grandes filósofos de la antigüedad y acaso de la historia de la filosofía occidental. Fue precursor de la anatomía y la biología y un creador de la taxonomía.
Nacido en la ciudad de Estagira, no lejos del actual monte Athos, en la Calcídica entonces perteneciente al reino de Macedonia ( la zona correspondiente a la actual Macedonia griega), Aristóteles, apodado El Estagirita, tuvo por madre a Faestis y por padre a Nicómaco.

Las tradiciones biográficas relativas a Aristóteles pueden parecer numerosas. Pero los documentos de la época son muy escasos, y no se encuentra, en las obras de Aristóteles, ninguna alusión directa a las circunstancias de su vida: incluso la “Política” parece ignorar la actividad del filósofo y, circunscribiéndose a ella, no se hubiera sabido nunca que fue el preceptor de Alejandro.

Nicómaco era el médico personal del rey Amyntas III de Macedonia, quien por su parte era padre de Filipo II, padre de Alejandro Magno.

Durante su temprana juventud Aristóteles viajó a la corte del basileos o rey Hermias de Atarneos, su suegro, junto a su condiscípulo Xenócrates.

Descendía de una familia de Asclepíades, una de las dinastías médicas que pretendían ser descendientes de Asclepios. Este origen explica simultáneamente el interés de Aristóteles por la Biología y sus relaciones con la corte de Macedonia. Aristóteles fue iniciado de niño en los secretos de la medicina y de ahí le vino su afición a la investigación experimental y a la ciencia positiva. Huérfano de padre y madre en plena adolescencia, fue adoptado por Proxeno, al cual pudo mostrar años después su gratitud adoptando a un hijo suyo llamado Nicanor.

Se dirige a Atenas hacia el 367 ó 366, con el fin de estudiar, a los dieciocho años. En la Academia, se ha de convertir en uno de los discípulos más brillantes de Platón. Éste lo llamaba, por su afición a los estudios, “el lector”.

Fue así discípulo de Platón y luego preceptor y maestro de Alejandro Magno. Antes de fallecer en Calcis en el año 322 adC a sus 62 años, Aristóteles se había convertido en uno de los filósofos de mayor renombre de su tiempo, durante el cual también su pensamiento científico gozó de enorme prestigio.

Su influencia, empero, fue mayor aún desde la baja Edad Media hasta el Renacimiento europeo.

En el año 335, Aristóteles funda su propia escuela en Atenas, el “Liceo” (denominado así por estar situado dentro de un recinto dedicado a Apolo Likeios), donde dictaba clases sobre amplios temas a sus discípulos. A los discípulos de Aristóteles se les llamó “peripatéticos” (peri pathos) porque solían recibir clases alrededor de los jardines y el paseo que rodeaban al edificio del Liceo.

A la muerte de Platón, ocurrida en el 348, Aristóteles contaba treinta y seis años de edad, habla pasado veinte de ellos simultaneando la enseñanza con el estudio y se encontraba en Atenas, como suele decirse, sin oficio ni beneficio. Así que no debió de pensárselo mucho cuando supo que Hermias de Atarneo, un soldado de fortuna griego (por más detalles, eunuco) que se habla apoderado del sector noroeste de Asia Menor, estaba reuniendo en la ciudad de Axos a cuantos discípulos de la Academia quisieran colaborar con él en la helenización de sus dominios. Aristóteles se instaló en Axos en compañía de Xenócrates de Calcedonia, un colega académico, y de Teofrasto, discípulo y futuro heredero del legado aristotélico.

El Estagirita pasaría allí tres años apacibles y fructíferos, dedicándose a la enseñanza, a la escritura (gran parte de su Política la redactó allí) y a la reproducción, ya que primero se casó con una sobrina de Hermias llamada Pitias, con la que tuvo una hija. Pitias debió de morir muy poco después y Aristóteles se unió a otra estagirita, de nombre Erpilis, que le dio un hijo, Nicómaco, al que dedicaría su Ética. Dado que el propio Aristóteles dejó escrito que el varón debe casarse a los treinta y siete años y la mujer a los dieciocho, resulta fácil deducir qué edades debían tener una y otra cuando se unió a ellas.

Tras el asesinato de Hermias, en el 345, Aristóteles se instaló en Mitilene (isla de Lesbos), dedicándose, en compañía de Teofrasto, al estudio de la biología. Dos años más tarde, en el 343, fue contratado por Filipo de Macedonia para que se hiciese cargo de la educación de su hijo Alejandro, a la sazón de trece años de edad. Tampoco se sabe mucho de la relación entre ambos, ya que las leyendas y las falsificaciones han borrado todo rastro de verdad. Pero de ser cierto el carácter que sus contemporáneos atribuyen a Alejandro (al que tachan unánimemente de arrogante, bebedor, cruel, vengativo e ignorante), no se advierte rasgo alguno de la influencia que Aristóteles pudo ejercer sobre él. Como tampoco se advierte la influencia de Alejandro sobre su maestro en el terreno político, pues Aristóteles seguía predicando la superioridad de las ciudades estado cuando su presunto discípulo estaba poniendo ya las bases de un imperio universal sin el que, al decir de los historiadores, la civilización helénica hubiera sucumbido mucho antes.

La vuelta a casa

Poco después de la muerte de Filipo, Alejandro hizo ejecutar a un sobrino de Aristóteles, Calístenes de Olinto, a quien acusaba de traidor. Conociendo el carácter vengativo de su discípulo, Aristóteles se refugió un año en sus propiedades de Estagira, trasladándose en el 334 a Atenas para fundar, siempre en compañía de Teofrasto, el Liceo, una institución pedagógica que durante años habría de competir con la Academia platónica, dirigida en ese momento por su viejo camarada Xenócrates de Calcedonia.

Los once años que median entre su regreso a Atenas y la muerte de Alejandro, en el 323, fueron aprovechados por Aristóteles para llevar a cabo una profunda revisión de una obra que, al decir de Hegel, constituye el fundamento de todas las ciencias. Para decirlo de la forma más sucinta posible, Aristóteles fue un prodigioso sintetizador del saber, tan atento a las generalizaciones que constituyen la ciencia como a las diferencias que no sólo distinguen a los individuos entre sí, sino que impiden la reducción de los grandes géneros de fenómenos y las ciencias que los estudian. Como él mismo dice, los seres pueden ser móviles e inmóviles, y al mismo tiempo separados (de la materia) o no separados. La ciencia que estudia los seres móviles y no separados es la física; la de los seres inmóviles y no separados es la matemática, y la de los seres inmóviles y separados, la teología.

La amplitud y la profundidad de su pensamiento son tales que fue preciso esperar dos mil años para que surgiese alguien de talla parecida. Y durante ese período su autoridad llegó a quedar tan establecida e incuestionada como la que ejercía la Iglesia, y tanto en la ciencia como en la filosofía todo intento de avance intelectual ha tenido que empezar con un ataque a cualquiera de los principios filosóficos aristotélicos.

Sin embargo, el camino seguido por el pensamiento de Aristóteles hasta alcanzar su actual preeminencia es tan asombroso que, aun descontando lo que la leyenda haya podido añadir, parece un argumento de novela de aventuras.

La aventura de los manuscritos

Con la muerte de Alejandro, en el 323, se extendió en Atenas una oleada de nacionalismo (antimacedonio) desencadenado por Demóstenes, hecho que le supuso a Aristóteles enfrentarse a una acusación de impiedad. No estando en su ánimo repetir la aventura de Sócrates, Aristóteles se exilió a la isla de Chalcis, donde murió en el 322. Según la tradición, Aristóteles le cedió sus obras a Teofrasto, el cual se las cedió a su vez a Neleo, quien las envió a casa de sus padres en Esquepsis sólidamente embaladas en cajas y con la orden de que las escondiesen en una cueva para evitar que fuesen requisadas con destino a la biblioteca de Pérgamo.

Muchos años después, los herederos de Neleo se las vendieron a Apelicón de Teos, un filósofo que se las llevó consigo a Atenas. En el 86 a.C., en plena ocupación romana, Sila se enteró de la existencia de esas cajas y las requisó para enviarlas a Roma, donde fueron compradas por Tiranión el Gramático. De mano en mano, esas obras fueron sufriendo sucesivos deterioros hasta que, en el año 60 a.C., fueron adquiridas por Andrónico de Rodas, el último responsable del Liceo, quien procedió a su edición definitiva. A él se debe, por ejemplo, la invención del término «metafísica», título bajo el que se agrupan los libros VII, VIII y IX y que significa, sencillamente, que salen a continuación de la física.

Con la caída del Imperio romano, las obras de Aristóteles, como las del resto de la cultura grecorromana, desaparecieron hasta que, bien entrado el siglo XIII, fueron recuperadas por el árabe Averroes, quien las conoció a través de las versiones sirias, árabes y judías. Del total de 170 obras que los catálogos antiguos recogían, sólo se han salvado 30, que vienen a ocupar unas 2.000 páginas impresas. La mayoría de ellas proceden de los llamados escritos «acroamáticos», concebidos para ser utilizados como tratados en el Liceo y no para ser publicados. En cambio, todas las obras publicadas en vida del propio Aristóteles, escritas para el público general en forma de diálogos, se han perdido.

Lógica:

La lógica aristotélica supone que la mente reproduce sólo la realidad, la existencia de las cosas tal y como son, por ello es una ciencia objetiva que se dedica a estudiar conceptos, desglosándolos en predicables y predicamentos. La lógica analiza juicios y formas de razonamiento y su manera de expresar resultados es el silogismo o razonamiento deductivo categórico. Concepto: Este representa un objeto en la mente del hombre de manera que no pueda ser afectado por los sentidos, la memoria o la mente. Un concepto tiene comprensión (características del objeto) y extensión (hace alusión la cantidad de sujetos a los que el concepto puede aplicarse). Cucharón (siglo III d.c.), en los que se clasifican los conceptos estableciendo entre ellos una relación de jerarquía y subordinación, de mayor a menor extensión.

La que es conocida como lógica clásica (o tradicional) fue enunciada primeramente por Aristóteles, quien elaboró leyes para un correcto razonamiento silogístico. Un silogismo es una proposición hecha de una de estas cuatro afirmaciones posibles: “Todo A es B” (universal afirmativo), “Nada de A es B” (universal negativo), “Algo de A es B” (particular afirmativo) o “Algo de A no es B” (particular negativo). Las letras sustituyen a palabras comunes como “perro”, “animal de cuatro patas” o ‘cosa viviente’, llamadas “términos” del silogismo. Un silogismo bien formulado consta de dos premisas y una conclusión, debiendo tener cada premisa un término en común con la conclusión y un segundo término relacionado con la otra premisa. En lógica clásica se formulan reglas por las que todos los silogismos bien construidos se identifican como formas válidas o no válidas de argumentación.

Tipos de conceptos

Los conceptos se subdividen en universales, particulares y singulares (de acuerdo con su extensión) y en simples y compuestos (de acuerdo con su comprensión). Juicios: si se relacionan dos (2) conceptos entonces estaríamos hablando de formular un juicio, si convienen los dos conceptos se habla de juicio positivo y si no pues de juicio negativo. El sujeto de la relación entre 2 conceptos (nos referimos a ella de aquí en adelante a juicio) es el concepto del cual se afirma o se niega algo, el predicado es el concepto del que se afirma o se niega algo. Es importante resaltar que para Aristóteles los juicios se componen de materia y forma. Materia: Conceptos en el juicio que se relacionan íntimamente Forma: Relación entre ellos a través del verbo SER. Para Aristóteles el Sujeto se representa con la letra S y el predicado con la letra P; de esta manera separa materia y forma y poder representar todos los juicios como “Hanz es hábil” o “Alejandra es preciosa” con la forma “S es P”.

Clasificación de juicios

Los juicios pueden ser según a la extensión del sujeto: Universales, o particulares. Según la cualidad de la relación entre conceptos: afirmativos o negativos. Los juicios se pueden clasificar ordenadamente en Universales Afirmativos (Se representan con la letra A), Universales Negativos (Se representan con la letra E), Particulares afirmativos (Se representan con la letra I) y finalmente Particulares negativos (Con la letra O.); Estas convenciones no fueron inventadas por Aristóteles, pero provienen de las palabras en latín “AfIrmo” y “nEgO”. Silogismos: Es un razonamiento donde se deduce una conclusión partiendo de 2 juicios. Este está conformado por 3 partes y a su ves 3 términos. Las tres partes son: Premisa mayor (la más universal), Premisa menor (menos universal) y la conclusión. Los tres términos que mencionamos son El término mayor y el término menor (Sujeto y Predicado de la conclusión: S es P), Finalmente el término medio (letra M) que aparece en ambos juicios

Hay 4 formas válidas de silogismo, todas dependiendo de la variación del término medio y de su función en los juicios; listadas a continuación:

 

Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4
M es P P es M M es P P es M
S es M S es M M es S M es S
S es P S es P S es P S es P
  • Forma A: Todo A es B. Para todo x, si x es A entonces es B.
  • Forma E: Algún A es B. Existe al menos un x tal que es A y es B.
  • Forma I: Algún A no es B. Existe al menos un x que es A y no es B.
  • Forma O: Ningún A es B. Para todo x, si x es A entonces no es B.A(universal afirmativa) contraria I (particular negativa.

    E(particular afirmativa contraria O (universal negativa)

    A contradictoria O

    E contradictoria I

    A subalterna I

    E subalterna O

Published in: on 12-abril-2008 at 8:27 am  Dejar un comentario  
Tags: , , , ,

Lógica (1) : Proposiciones

La Lógica es también uno de las habilidades del cerebro humano que proporciona la posibilidad de razonar y efectuar deducciones, característicos de la inteligencia del hombre.

No hace falta ser matemático para utilizarla. Y aunque la lógica formal y simbólica tengan unas reglas rígidas y aparezcan como fórmulas difíciles de entender, en realidad representan razonamientos muy simples que efectúa el ser racional (probablemente algún animal distinto del hombre también los realice) y que son la representación de los mecanismos que se efectúan en el cerebro de todo ser inteligente.

En Wikipedia encontramos la siguiente entrada http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica :


Lógica

La Lógica es un término que deriva del griego “Λογικός” (logikê-logikós), que a su vez es “λόγος” (logos), que significa razón.[1] La Lógica es la ciencia encargada de estudiar el pensamiento a través de las Formas Mentales. Se considera que Aristóteles fue el que fundó la Lógica como un medio de conocimiento o Propedéutica, una herramienta básica para todas las Ciencias[2] . La Lógica según Immanuel Kant es una ciencia formal, es decir, aquella ciencia que estudia las formas del pensamiento prescindiendo de todo contenido.[3] Carl Sagan, en su obra El Mundo y sus Demonios, presenta a la razón y el uso de la lógica como un modelo de causas-efectos encadenados por una transformación, que dada la naturaleza de nuestro universo, es eminentemente termodinámica.


Es una buena descripción… aunque nos quedemos sin saber que son exactamente las “Formas Mentales”.

Más adelante nos cuenta algo de la Historia de la Lógica:


Historia de la lógica [editar]

Históricamente la palabra ha ido cambiando de sentido. Comenzó siendo una modelización de los razonamientos, propuesta por los filósofos griegos, y posteriormente ha evolucionado hacia diversos sistemas formales, relacionados con la teoría.

La lógica formal, como un análisis explícito de los métodos de razonamientos, se desarrolló originalmente en tres civilizaciones de la historia antigua: China, India y Grecia entre el Siglo V y el Siglo I a.C.

En China no duró mucho tiempo: la traducción y la investigación escolar en lógica fue reprimida por la dinastía Qin, acorde con la filosofía legista. En India, la lógica duró bastante más: se desarrolló ( por ejemplo con la nyaya) hasta que en el mundo islámico apareció la escuela de Asharite, la cual suprimió parte del trabajo original en lógica. (A pesar de lo anterior, hubo innovaciones escolásticas indias hasta principios del siglo XIX, pero no sobrevivió mucho dentro de la India Colonial). El tratamiento sofisticado y formal de la lógica moderna aparentemente proviene de la tradición griega.

Aristóteles fue el primero en emplear el término “Lógica” para referirse al estudio de los argumentos dentro del lenguaje natural. En el Organon Aristóteles la define como “el arte de la argumentación correcta y verdadera”.

Nació así la “Lógica Informal”, o el estudio metódico de los argumentos. Durante varios siglos, sólo fue investigada por la retórica, la oratoria y la filosofía, entre otras ramas del conocimiento. Se especializó medularmente en la identificación de falacias y paradojas, así como en la construcción correcta de razonamientos.

A partir de mediados del Siglo XIX la lógica formal comenzó a ser estudiada en el campo de las matemáticas y posteriormente por las ciencias computacionales, naciendo así la Lógica simbólica. La lógica simbólica trata de esquematizar los pensamientos de forma clara y sin ambigüedades. Para ello usa un lenguaje de signos propio y distinto al verbal.

Así, en la edad contemporánea, la lógica generalmente es entendida para describir razonamiento en una forma prescripta. Esto es, describe cómo el razonar debería tomar lugar.

Además de encontrarle múltiples e importantes usos computacionales y matemáticos a la lógica simbólica, se ha mantenido la lógica aristotélica, la cual principalmente se ocupa de enseñar el buen argumento y es todavía enseñada, con ese designio, en la época contemporánea. Para la Lógica matemática y la filosofía analítica la lógica es un objeto de estudio en sí mismo, por lo que ésta es estudiada a un nivel más abstracto.

Existen muchos otros sistemas lógicos, como la lógica dialéctica, lógica difusa, lógica probabilística, lógica modal y la lógica no monótona.

Martin Heidegger —discípulo de Edmund Husserl—, se aparta de estas líneas de consideración de la lógica —aunque sin despreciarlas y comprendiendo su alcance (pero también sus límites)—, planteando que una lógica más originaria se podría encontrar en un plano previo a las proposiciones, sentencias, declaraciones o juicios. Tomar en cuenta eso podría llevar a un replanteamiento de la lógica de la proposición o la lógica del juicio, puesto que nos conduciría a movernos en las raíces de la lógica tal como ha sido habitualmente entendida, raíces que hasta ahora han sido insuficientemente atendidas. Para él, la lógica tendría que partir de una suficiente meditación del λόγος ( lógos), el cual debería ser distinguido de la ratio (razón), que, en rigor, significa algo distinto.


La página http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/CONTENIDOS/Conjuntos/marco_conjuntos.htm del Departamento de Matemática Aplicada a la Ingeniería de la Universidad de Valladolid, hace un resumen bastante bueno sobre lógica proposicional, que transfiero aquí:


Lógica proposicional

Una proposición es cualquier enunciado lógico al que se le pueda asignar un valor de verdad (1) o falsedad (0).

Dada una proposición p, se define la negación de p como la proposición p’ que es verdadera cuando p es falsa
y que es falsa cuando p es verdadera. Se lee “no p“.

A partir de una o varias proposiciones elementales se pueden efectuar diversas operaciones lógicas para construir
nuevas proposiciones; en este caso, se necesita conocer su valor de verdad o falsedad en función de los valores de
las proposiciones de que se componen, lo cual se realiza a través de las tablas de verdad de dichas operaciones.
Por ejemplo, la tabla de verdad de la negación es la siguiente:
 
 

p p’
1 0
0 1

A continuación se describen las principales operaciones lógicas entre dos proposiciones p,q y sus tablas de verdad:

        Conjunción: es aquella proposición que es verdadera cuando p y q son verdaderas, y falsa en cualquier otro caso.
                            Se escribe p
Ù q, y se lee “p y q”.
 
 

p q p Ù q
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0

        Disyunción: es aquella proposición que es verdadera cuando al menos una de las dos p o q es verdadera,
                            y falsa en caso contrario. Se escribe p
Ú q, y se lee “p o q”.
 
 

p q p Ú q
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0

        Disyunción exclusiva: es aquella proposición que es verdadera cuando una y sólo una de las dos p o q es verdadera,
                            y falsa en cualquier otro caso. Se escribe p Ú q, y se lee “p o q pero no ambas”. Se usa muy poco.
 
 

p q p Ú q
1 1 0
1 0 1
0 1 1
0 0 0

        Condicional: es aquella proposición que es falsa únicamente cuando la condición suficiente p es verdadera y la
                        condición necesaria q es falsa. Se escribe p
Þ q, y se lee “si p entonces q”.
 
 

p q p Þ q
1 1 1
1 0 0
0 1 1
0 0 1

        Bicondicional: es aquella proposición que es verdadera cuando p y q tienen el mismo valor de verdad,
                            y falsa en caso contrario. Se escribe p
Û q, y se lee “si y sólo si p entonces q”.
 
 

p q p Û q
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1

Una proposición se dice que es una tautología si su valor de verdad es siempre 1 independientemente de los valores
de las proposiciones que lo componen; por ejemplo: p
Ú p’.

Una proposición se dice que es una contradicción si su valor de verdad es siempre 0 independientemente de los valores
de las proposiciones que lo componen; por ejemplo: p
Ù p’.

Una paradoja es una proposición a la que no se le puede asignar ningún valor de verdad; suelen estar relacionadas con
incorrecciones en el lenguaje lógico. Por ejemplo: p=”la proposición p es falsa”.
 

Dos proposiciones p y q se dicen equivalentes si tienen la misma tabla de verdad en función de las proposiciones elementales
que lo componen; esta definición equivale a decir que la proposición p
Û q es una tautología. Por ejemplo, las proposiciones

                p Þ q

y

                q’ Þ p’

son equivalentes. Esta ley se llama “ley del contrarrecíproco”, y se usa en los razonamientos por reducción al absurdo.
Se pueden obtener fácilmente más “resultados lógicos” a través de su
relación con la teoría de conjuntos
  
  


Published in: on 27-enero-2008 at 10:40 am  Dejar un comentario  
Tags: , , , , , ,

Conjuntos: (6) Retículos 2ª parte. Algebra de Bool

La Relación de Inclusión Í definida en un retículo R, es una Relación de Orden, es decir, establece una ordenación en el conjunto.

Esta relación de orden posee las siguientes propiedades:

  1. Propiedad Reflexiva: A Í A, para todo A de R.
  2. Propiedad Antisimétrica: A Í B y B Í A, implican A = B
  3. Propiedad Transitiva: A Í B y B Í C, implican que A Í C

además se verifica la siguiente proposición:

A Í B es equivalente a decir que A È B = B  y  A Ç B = A, que como vimos en [http://www.del-pino.org/blog/index.php/2008/01/27/conjuntos-6-retculos-2-parte-algebra-de-bool/] estas dos igualdades son equivalentes.

DEFINICION: Se llama Infimo de un retículo R, al elemento I que cumple las siguientes propiedades:

  1.  X | X Î R, X È I = X, es decir, para todo conjunto X perteneciente al retículo R la unión del elemento ínfimo con X es igual a X
  2.  X | X Î R, X Ç I = I, es decir, para todo conjunto X perteneciente al retículo R la intersección del elemento ínfimo con X es igual al elemento ínfimo.

DEFINICION: Se llama Universal de un retículo R, al elemento U que cumple las siguientes propiedades:

  1.  X | X Î R, X È U = U, es decir, para todo conjunto X perteneciente al retículo R la unión del elemento universal con X es igual al elemento Universal
  2.  X | X Î R, X Ç U = X, es decir, para todo conjunto X perteneciente al retículo R la intersección del elemento universal con X es igual al X.

DEFINICION: Se llama Retículo Distributivo al retículo cuyas operaciones Unión e Intersección verifican la propiedad distributiva:

  • A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C) y
  • A È (B Ç C) = (A È B) Ç (A È C)

para cualquier terna de conjuntos A, B y C pertenecientes a R.

DEFINICION: Se llama Retículo Complementario al retículo en el que todo conjunto X perteneciente a retículo posee elemento complementario c(X) [Conjuntos (3)] es decir:

Si  X | X Î R Existe c(X) | X È c(X) = U ý X Ç c(X) = I  entonces R es un retículo complementario.

El complementario de un conjunto también se representa como X’. c(X) = X’

DEFINICION: Un retículo R que sea al mismo tiempo Distributivo y Complementario se llama Álgebra de Bool.

El conjunto de las partes de un conjunto R(U) es un Álgebra de Bool.

Las Álgebras de Bool son importantes pues las proposiciones Lógicas son álgebras de Bool y por lo tanto se pueden comprobar matemáticamente sus propiedades. También son importantes en Informática, pues el comportamiento de los circuitos de un procesador, formados por millones de puertas lógicas, también es el representado por álgebras de Bool.

Operación Sustracción ó Diferencia

En un álgebra de Bool R se puede definir una nueva operación llamada sustracción, del siguiente modo:

Se llama Diferencia ó Sustracción entre dos conjuntos A y B, pertenecientes a un retículo R, y se representa por A-B al elemento de R resultante de la operación A Ç c(B)

Diferencia por lo tanto es la combinación o composición de la operación Intersección con la operación complementario:

A-B = A Ç c(B), primero se aplica la operación complementario sobre B y luego se halla la intersección del resultado con A.

Operación Suma

Se puede definir igualmente otra operación llamada Suma, sólo definida entre elementos de R tales que su intersección sea igual al conjunto vacío, es decir que sean conjuntos disjuntos entre sí, y se representa con el símbolo +.

Se llama Suma de A y B al elemento A È B, cuando se cumple que A Ç B = Æ

Operación Diferencia Simétrica

Igualmente se puede definir otra operación llamada Diferencia Simétrica, y representada con el símbolo Δ,a la suma de la diferencia entre A y B y B y A, es decir: A Δ B = (A – B) + (B – A)

Published in: on 27-enero-2008 at 9:02 am  Dejar un comentario  
Tags: , , ,

Conjuntos: (5) Retículos

Este palabro bastante raro “Retículo” es un invento de los matemáticos para dar nombre a unos tipos de conjuntos que cumplen determinadas propiedades.

Para empezar un retículo ha de ser un conjunto en el que se hayan definido dos operaciones. Las operaciones pueden tener el nombre que se quiera y la representación gráfica que queramos y pueden producir los resultados que el inventor (o descubridor) del conjunto y sus operaciones quiera, pero para que ese conjunto se pueda llamar retículo las operaciones tienen que cumplir las propiedades que se indican más abajo.

Nosotros las vamos a llamar de forma genérica Unión e Intersección y las vamos a representar con los símbolos È y Ç respectivamente.

Además de tener estas operaciones el conjunto, para que sea un retículo, ambas operaciones deben estar definidas para todas las parejas posibles de elementos del conjunto. Esto quiere decir que el resultado de la operación debe ser también un elemento del conjunto. Esto, aunque parece trivial porque podemos pensar que una operación siempre va a estar definida para todos los elementos de un conjunto, esto no es cierto. Al definir una operación se puede definir ésta solo para unos determinados elementos. Por ejemplo, en el conjunto de números enteros la operación división sólo está definida para aquellas parejas en las que el primer número es un múltiplo del segundo, para el resto de parejas el resultado de la operación no es un elemento del conjunto.

Por lo tanto podemos pasar a la definición oficial:

DEFINICION: Se llama retículo a un conjunto R, entre cuyos elementos se han definido dos operaciones, llamadas Unión e Intersección, y representadas por los símbolos È y Ç respectivamente, tales que si A y B son dos elementos arbitrarios de R, A È B y A Ç B existen, son únicos y pertenecen a R y además verifican las siguientes propiedades:

  1. Asociatividad. Para tres elementos cualesquiera, A, B, C, de R se cumple que: A È (B È C) = (A È B) È C  ý  A Ç (B Ç C) =  (A Ç B) Ç C
  2. Conmutatividad. Para dos elementos cualesquiera A, B, de R se cumple que: A È B = B È A  ý  A Ç B =  B Ç A
  3. Idempotencia. Para todo elemento A de R se verifica que: A È A = A  ý  A Ç A = A
  4. Ley de Simplificación. Si A y B son elementos arbitrarios de R se verifica que: (A È B) Ç A = A  ý  (A Ç B) È A = A

Esta última propiedad se puede deducir de las anteriores y de las propiedades generales de los conjuntos. Os animo a que dejéis un comentario con la demostración.

De acuerdo con esta definición se puede comprobar que el conjunto de las partes de un conjunto R(U) es un reticulo.

Se cumple también la siguiente propiedad:

Si A y B son elementos de un retículo R, se verifica que: A È B = B  <=>  A Ç B = A

también os animo a que pongáis la demostración en un comentario.

Published in: on 12-enero-2008 at 10:32 am  Dejar un comentario  
Tags: , , ,

Conjuntos: (4) Propiedades de las operaciones entre conjuntos

Ya hemos visto en un post anterior “Conjuntos: (3) Operaciones con conjuntos” Las propiedades de la Unión y la Intersección de conjuntos.

Existen propiedades conjuntas a la Unión e Intersección:

  1. Ley de Simplificación: Si A y B son conjuntos cualesquiera se verifica que:
    • (A È B) Ç A =  y
    • (A Ç B) È A = A
  2. Propiedad Distributiva: Si A, B y C son tres conjuntos arbitrarios se verifica que:
    • A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C) y
    • A È (B Ç C) = (A È B) Ç (A È C)

De las dos anteriores se deducen las siguientes:

  • A È B = B  <=> A Ç B = A
  • A Í B => (A È C) Í (B È C) para cualquier conjunto C
  • A È B = B  <=> A Í B
  • Si U es un conjunto no vacío e I es una parte de U tal que para toda parte X de U se verifica que X È I = X, entonces I es el elemento ínfimo. También se verificará en este caso para toda parte X de U, que X Ç I = I
  • Si V es un elemento de R(U) tal que para todo X Î R(U) se cumple que X Ç V = X, ó su equivalente, X È V = V, entonces se verifica que V es el elemento Universal.

Uniendo las propiedades de la unión e intersección con las propiedades del conjunto complementario, tenemos:

  • (A È B)’ = A’ Ç B’. El complementario de la unión de dos conjuntos es igual a la intersección de los complementarios de cada uno de ellos.
  • (A Ç B)’ = A’ È B’. El Complementario de la intersección de dos conjuntos es igual a la unión de los complementarios de cada uno de ellos.
  • A Í B => B’ Í A’
  • A È A’ = U. La Unión de un conjunto con su complementario es igual al conjunto universal
  • A Ç A’ = Æ. La Intersección de un conjunto con su complementario es igual al conjunto vacío.

Las dos primeras propiedades se llaman Leyes de Morgan

Published in: on 8-enero-2008 at 11:06 am  Dejar un comentario  
Tags: , ,

Hello world!

Welcome to WordPress.com. This is your first post. Edit or delete it and start blogging!

Published in: on 2-diciembre-2007 at 3:05 pm  Comentarios (1)  
Seguir

Recibe cada nueva publicación en tu buzón de correo electrónico.