Conjuntos: (2) Relaciones entre conjuntos

El siguiente paso en la aventura matemática del hombre primitivo es el de establecer relaciones entre los conjuntos que conoce.

Conjunto Vacío.

Un  conjunto definido por comprensión, mediante una condición que no se verifica nunca, no tendrá ningún elemento. Se dice entonces que el conjunto es el conjunto vacío y se representa por el símbolo Æ

al conjunto que sólo se compone de un único elemento se le llama conjunto unitario

Conjunto Universal:

DEFINICION: Conjunto Universal es el conjunto que contiene a todos los elementos existentes.

Naturalmente siempre hay que tener en cuenta el contexto en el que se está actuando con los conjuntos. Por ejemplo, si sólo se está tratando con conjuntos de animales el conjunto universal puede ser el conjunto de todos los animales, o el conjunto de todos los seres vivos. Si se está tratando con grupos de números, el conjunto universal puede ser el conjunto de números naturales, el conjunto de números reales, etc.. Es decir, que habrá un conjunto universal diferente para cada problema que se esté tratando y que será a qué conjunto que abarque todos los elementos que hay que tener en cuenta para ese problema.

Se le representa con la letra U.

Relación de Inclusión.

Definición: Se dice que el conjunto A es un subconjunto o una parte del conjunto B cuando todo elemento del conjunto A pertenece también al conjunto B. Se escribe de esta manera A Í B.

La relación representada por el símbolo Í se llama relación de inclusión.

Los matemáticos lo escriben de esta manera:   A Í B <=> " x | x Î A => x Î B

Es importante destacar la diferencia entre la pertenencia y la inclusión. La pertenencia es de un elemento a un conjunto y la inclusión se refiere a de un subconjunto a un conjunto. Por ejemplo, si B = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j , k}, entonces a Î B y {a} Í B.

Cualquiera que sea el conjunto A se verifica que Æ Í A y A Í U.

Si A es un conjunto determinado por comprensión mediante el cumplimiento de una propiedad p, los subconjuntos de A vienen determinados a su vez por el cumplimiento de propiedades q que se obtienen añadiendo a la propiedad p alguna otra condición. Es decir, si por ejemplo A representa al conjunto de los animales que conozco, un subconjunto de A puede ser el conjunto de los animales que conozco, pero que además tienen 4 patas.

Propiedades de la relación de inclusión

La relación de inclusión cumple las siguientes propiedades:

  1. Propiedad Reflexiva: Todo conjunto es subconjunto de sí mismo. A Í A.
  2. Propiedad Transitiva: Si A es subconjunto de B y B es subconjunto de C entonces A es subconjunto de C.  (A Í B y B Í C ) <=> A Í C
  3. Propiedad Antisimétrica: Si A es subconjunto de B y B es subconjunto de A entonces A y B son idénticos. (A Í B y B Í A) <=> A = B

Relación de Igualdad

Dos conjuntos se llaman idénticos o se dice que son iguales si todo elemento que pertenece a uno de ellos pertenece también al otro. Los matemáticos lo escriben de esta manera:
  A = B <=> (" x | x Î A => x Î B) y (" x | x Î B => x Î A)

Published in: on 23-noviembre-2007 at 3:22 pm  Dejar un comentario  

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