Conjuntos: (3) Operaciones con conjuntos

Una vez que se tienen la noción de conjunto y se sabe como determinar si un elemento pertenece o no al conjunto y saber diferenciar si dos conjuntos son iguales o si uno de ellos está contenido dentro del otro, el siguiente paso en el proceso es realizar operaciones entre conjuntos.

una operación, explicándolo de forma muy simple, es la acción por la que, partiendo de dos conjuntos, se obtiene un tercero que puede ser diferente de los otros dos.

Considerando las matemáticas como juego, una operación es una de las reglas del mismo.

En este juego, hemos definido las siguientes reglas:

  1. Conceptos básicos o axiomas: Conjunto, Elemento de un conjunto, Conjunto Vacío, Conjunto Universal. Son Definiciones.
  2. Métodos para crear instancias de los objetos que hemos definido: Enumeración de elementos posibles, lista de elementos de un conjunto ó propiedad común a los elementos del conjunto que se está creando, etc.. Este proceso de creación en realidad es la implementación de la representación en forma escrita o gráfica de objetos de nuestro mundo real o imaginario.
  3. Métodos para obtener información interesante sobre los Objetos que se han creado:
    • Relación de pertenencia a un conjunto (determinar si un elemento pertenece o no al conjunto).
    • Relación de inclusión (determinar si un conjunto está incluido dentro de otro).
    • Relación de igualdad (determinar si dos conjuntos son iguales)
  4. Propiedades de los objetos. No son definiciones sino deducciones realizadas a partir de las definiciones y métodos iniciales.
  5. Operaciones para obtener nuevos objetos partiendo de los objetos iniciales que se han creado por definición.

Realmente no son definiciones arbitrarias sino herramientas que nos permiten establecer modelos del mundo que nos rodea.

Vamos a seguir aumentando nuestra colección de definiciones y operaciones.

Ya hemos hablado anteriormente del Conjunto Universal U que contiene o agrupa a todos los elementos existentes que tienen interés para el problema que se esté tratando.

Conjunto complementario:

DEFINICION: Si tenemos un conjunto A que es una parte o subconjunto de otro conjunto U (conjunto Universal), se llama conjunto complementario de A, y lo representamos por A’, al conjunto formado por todos los elementos de U que no pertenecen a A.

Por ejemplo, dado U = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m} y sea A Í U tal que A = {a, f, k, m}, entonces el complementario de A, A’ = {b, c, d, e, g, h, i, j, l}.

Se verifica también que si A’ es el complementario de A entonces A’ Í U.

Hallar el conjunto complementario de otro conjunto es una operación, pues partiendo de dos objetos conocidos o definidos anteriormente obtenemos otro nuevo al aplicar esta operación.

PROPIEDADES: Es fácil ver que si A y B son subconjuntos cualesquiera de U se verifica:

    • Æ‘ = U .
    • U ‘ = Æ .
    • (A’)’ = A .
    • A Í B Û B’ Í A’ .

Conjunto de las Partes de un conjunto:

DEFINICION: Dado cualquier conjunto A a partir de él se puede formar un conjunto R(A), llamado conjunto de las partes de A, al conjunto formado por todos los posibles subconjuntos de A.

Por ejemplo, si A = {1, 2, 3} entonces R(A) = { Æ,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},A}.

Ejercicio 3.1: ¿Quién sabe calcular cuántos elementos tiene R(U) cuando U tiene n elementos?

Union de Conjuntos:

DEFINICION: dados los conjuntos A y B Î R(U), se llama Union de A y B y se representa por A È B al conjunto formado por todos los elementos pertenecientes al conjunto A o que pertenecen al conjunto B o a ambos.

Los matemáticos lo escribirían así: A È B := { x | x Î A Ú x Î B}.

Intersección de Conjuntos:

DEFINICION: dados los conjuntos A y B Î R(U), se llama Intersección de A y B y se representa por A Ç B al conjunto formado por todos los elementos pertenecientes al conjunto A y que también pertenecen al conjunto B.

Los matemáticos lo escribirían así: A Ç B := {x | x Î A Ù x Î B}

Published in: on 28-noviembre-2007 at 12:43 pm  Dejar un comentario  

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