Conjuntos: (4) Propiedades de las operaciones entre conjuntos

Ya hemos visto en un post anterior “Conjuntos: (3) Operaciones con conjuntos” Las propiedades de la Unión y la Intersección de conjuntos.

Existen propiedades conjuntas a la Unión e Intersección:

  1. Ley de Simplificación: Si A y B son conjuntos cualesquiera se verifica que:
    • (A È B) Ç A =  y
    • (A Ç B) È A = A
  2. Propiedad Distributiva: Si A, B y C son tres conjuntos arbitrarios se verifica que:
    • A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C) y
    • A È (B Ç C) = (A È B) Ç (A È C)

De las dos anteriores se deducen las siguientes:

  • A È B = B  <=> A Ç B = A
  • A Í B => (A È C) Í (B È C) para cualquier conjunto C
  • A È B = B  <=> A Í B
  • Si U es un conjunto no vacío e I es una parte de U tal que para toda parte X de U se verifica que X È I = X, entonces I es el elemento ínfimo. También se verificará en este caso para toda parte X de U, que X Ç I = I
  • Si V es un elemento de R(U) tal que para todo X Î R(U) se cumple que X Ç V = X, ó su equivalente, X È V = V, entonces se verifica que V es el elemento Universal.

Uniendo las propiedades de la unión e intersección con las propiedades del conjunto complementario, tenemos:

  • (A È B)’ = A’ Ç B’. El complementario de la unión de dos conjuntos es igual a la intersección de los complementarios de cada uno de ellos.
  • (A Ç B)’ = A’ È B’. El Complementario de la intersección de dos conjuntos es igual a la unión de los complementarios de cada uno de ellos.
  • A Í B => B’ Í A’
  • A È A’ = U. La Unión de un conjunto con su complementario es igual al conjunto universal
  • A Ç A’ = Æ. La Intersección de un conjunto con su complementario es igual al conjunto vacío.

Las dos primeras propiedades se llaman Leyes de Morgan

Published in: on 8-enero-2008 at 11:06 am  Dejar un comentario  
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