Conjuntos: (5) Retículos

Este palabro bastante raro “Retículo” es un invento de los matemáticos para dar nombre a unos tipos de conjuntos que cumplen determinadas propiedades.

Para empezar un retículo ha de ser un conjunto en el que se hayan definido dos operaciones. Las operaciones pueden tener el nombre que se quiera y la representación gráfica que queramos y pueden producir los resultados que el inventor (o descubridor) del conjunto y sus operaciones quiera, pero para que ese conjunto se pueda llamar retículo las operaciones tienen que cumplir las propiedades que se indican más abajo.

Nosotros las vamos a llamar de forma genérica Unión e Intersección y las vamos a representar con los símbolos È y Ç respectivamente.

Además de tener estas operaciones el conjunto, para que sea un retículo, ambas operaciones deben estar definidas para todas las parejas posibles de elementos del conjunto. Esto quiere decir que el resultado de la operación debe ser también un elemento del conjunto. Esto, aunque parece trivial porque podemos pensar que una operación siempre va a estar definida para todos los elementos de un conjunto, esto no es cierto. Al definir una operación se puede definir ésta solo para unos determinados elementos. Por ejemplo, en el conjunto de números enteros la operación división sólo está definida para aquellas parejas en las que el primer número es un múltiplo del segundo, para el resto de parejas el resultado de la operación no es un elemento del conjunto.

Por lo tanto podemos pasar a la definición oficial:

DEFINICION: Se llama retículo a un conjunto R, entre cuyos elementos se han definido dos operaciones, llamadas Unión e Intersección, y representadas por los símbolos È y Ç respectivamente, tales que si A y B son dos elementos arbitrarios de R, A È B y A Ç B existen, son únicos y pertenecen a R y además verifican las siguientes propiedades:

  1. Asociatividad. Para tres elementos cualesquiera, A, B, C, de R se cumple que: A È (B È C) = (A È B) È C  ý  A Ç (B Ç C) =  (A Ç B) Ç C
  2. Conmutatividad. Para dos elementos cualesquiera A, B, de R se cumple que: A È B = B È A  ý  A Ç B =  B Ç A
  3. Idempotencia. Para todo elemento A de R se verifica que: A È A = A  ý  A Ç A = A
  4. Ley de Simplificación. Si A y B son elementos arbitrarios de R se verifica que: (A È B) Ç A = A  ý  (A Ç B) È A = A

Esta última propiedad se puede deducir de las anteriores y de las propiedades generales de los conjuntos. Os animo a que dejéis un comentario con la demostración.

De acuerdo con esta definición se puede comprobar que el conjunto de las partes de un conjunto R(U) es un reticulo.

Se cumple también la siguiente propiedad:

Si A y B son elementos de un retículo R, se verifica que: A È B = B  <=>  A Ç B = A

también os animo a que pongáis la demostración en un comentario.

Published in: on 12-enero-2008 at 10:32 am  Dejar un comentario  
Tags: , , ,

The URI to TrackBack this entry is: https://javierdelpino.wordpress.com/2008/01/12/conjuntos-5-retculos/trackback/

RSS feed for comments on this post.

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s

A %d blogueros les gusta esto: