Conjuntos: (6) Retículos 2ª parte. Algebra de Bool

La Relación de Inclusión Í definida en un retículo R, es una Relación de Orden, es decir, establece una ordenación en el conjunto.

Esta relación de orden posee las siguientes propiedades:

  1. Propiedad Reflexiva: A Í A, para todo A de R.
  2. Propiedad Antisimétrica: A Í B y B Í A, implican A = B
  3. Propiedad Transitiva: A Í B y B Í C, implican que A Í C

además se verifica la siguiente proposición:

A Í B es equivalente a decir que A È B = B  y  A Ç B = A, que como vimos en [http://www.del-pino.org/blog/index.php/2008/01/27/conjuntos-6-retculos-2-parte-algebra-de-bool/] estas dos igualdades son equivalentes.

DEFINICION: Se llama Infimo de un retículo R, al elemento I que cumple las siguientes propiedades:

  1.  X | X Î R, X È I = X, es decir, para todo conjunto X perteneciente al retículo R la unión del elemento ínfimo con X es igual a X
  2.  X | X Î R, X Ç I = I, es decir, para todo conjunto X perteneciente al retículo R la intersección del elemento ínfimo con X es igual al elemento ínfimo.

DEFINICION: Se llama Universal de un retículo R, al elemento U que cumple las siguientes propiedades:

  1.  X | X Î R, X È U = U, es decir, para todo conjunto X perteneciente al retículo R la unión del elemento universal con X es igual al elemento Universal
  2.  X | X Î R, X Ç U = X, es decir, para todo conjunto X perteneciente al retículo R la intersección del elemento universal con X es igual al X.

DEFINICION: Se llama Retículo Distributivo al retículo cuyas operaciones Unión e Intersección verifican la propiedad distributiva:

  • A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C) y
  • A È (B Ç C) = (A È B) Ç (A È C)

para cualquier terna de conjuntos A, B y C pertenecientes a R.

DEFINICION: Se llama Retículo Complementario al retículo en el que todo conjunto X perteneciente a retículo posee elemento complementario c(X) [Conjuntos (3)] es decir:

Si  X | X Î R Existe c(X) | X È c(X) = U ý X Ç c(X) = I  entonces R es un retículo complementario.

El complementario de un conjunto también se representa como X’. c(X) = X’

DEFINICION: Un retículo R que sea al mismo tiempo Distributivo y Complementario se llama Álgebra de Bool.

El conjunto de las partes de un conjunto R(U) es un Álgebra de Bool.

Las Álgebras de Bool son importantes pues las proposiciones Lógicas son álgebras de Bool y por lo tanto se pueden comprobar matemáticamente sus propiedades. También son importantes en Informática, pues el comportamiento de los circuitos de un procesador, formados por millones de puertas lógicas, también es el representado por álgebras de Bool.

Operación Sustracción ó Diferencia

En un álgebra de Bool R se puede definir una nueva operación llamada sustracción, del siguiente modo:

Se llama Diferencia ó Sustracción entre dos conjuntos A y B, pertenecientes a un retículo R, y se representa por A-B al elemento de R resultante de la operación A Ç c(B)

Diferencia por lo tanto es la combinación o composición de la operación Intersección con la operación complementario:

A-B = A Ç c(B), primero se aplica la operación complementario sobre B y luego se halla la intersección del resultado con A.

Operación Suma

Se puede definir igualmente otra operación llamada Suma, sólo definida entre elementos de R tales que su intersección sea igual al conjunto vacío, es decir que sean conjuntos disjuntos entre sí, y se representa con el símbolo +.

Se llama Suma de A y B al elemento A È B, cuando se cumple que A Ç B = Æ

Operación Diferencia Simétrica

Igualmente se puede definir otra operación llamada Diferencia Simétrica, y representada con el símbolo Δ,a la suma de la diferencia entre A y B y B y A, es decir: A Δ B = (A – B) + (B – A)

Published in: on 27-enero-2008 at 9:02 am  Dejar un comentario  
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