Diofanto de Alejandría

Diofanto de Alejandría (Diophanti Alexandrini) (nacido alrededor del 200/214 – fallecido alrededor de 284/298) fue un antiguo matemático griego. Se considera a Diofanto el padre del álgebra.

Es mejor conocido por su Aritmética, un trabajo sobre la solución de ecuaciones algebraicas y sobre la teoría de números. sin embargo se sabe muy poco sobre su vida y ha existido mucho debate con respecto a la época en la que vivió.

Nacido en Alejandría, nada se conoce con seguridad sobre su vida salvo la edad a la que falleció, gracias a este epitafio redactado en forma de problema y conservado en la antología griega:

“Transeúnte, esta es la tumba de Diofanto: es él quien con esta sorprendente distribución te dice el número de años que vivió. Su niñez ocupó la sexta parte de su vida; después, durante la doceava parte su mejilla se cubrió con el primer bozo. Pasó aún una séptima parte de su vida antes de tomar esposa y, cinco años después, tuvo un precioso niño que, una vez alcanzada la mitad de la edad de su padre, pereció de una muerte desgraciada. Su padre tuvo que sobrevivirle, llorándole, durante cuatro años. De todo esto se deduce su edad.”
 \frac {x} {6} + \frac {x} {12} + \frac {x} {7} +  5 + \frac {x} {2} + 4 = x donde x es la edad que vivió Diofanto
 \frac {14x + 7x + 12x + 42x} {84} + 9 = x
 \frac {75x} {84} = x - 9
75x = 84x – 756
756 = 9x
x = 84

Según esto, Diofanto falleció a la edad de 84 años. Se ignora, sin embargo en qué siglo vivió.

Diofanto cita la definición de un número poligonal a partir del trabajo de Hipsicles, de modo que se sabe a ciencia cierta que eso lo escribió después del año 150 a.c. Por otra parte Teón, padre de Hipatia, cita una de las definiciones de Diofanto, lo cual significa que Diofanto lo escribió antes del 350 d.c., lo cual deja un lapso de tiempo demasiado grande entre ambas fechas 500 años.

Si es el mismo astrónomo Diofanto que comentó Hipatia (fallecida en 415), habría fallecido antes del siglo V, pero si se trata de personas distintas cabe pensar que vivía a finales de dicho siglo, ya que ni Proclo ni Papo le citan, lo que resulta difícil de entender tratándose de un matemático que pasa por ser el inventor del álgebra. En opinión de Albufaraga, Diofanto vivía en los tiempos del emperador Juliano, hacia 365, fecha que aceptan los historiadores.

Otros historiadores consideran a partir de una carta de Diofanto a Anatolio, que parece que era el Obispo de Laodicea en el año 280 y que fue su discípulo, que vivió en el siglo III.

A partir de la dedicatoria de la aritmética que está dirigida a Dionisio, que podría tratarse del Obispo de Alejandría que vivió en el año 247 d.c., también podría deducirse que vivió en el siglo III.

El matemático alejandrino debe su renombre a su obra Arithmetica. Este libro, que constaba de trece libros de los que sólo se han hallado seis, fue publicado por Guilielmus Xylander en 1575 a partir de unos manuscritos de la universidad de Wittenberg, añadiendo el editor un manuscrito sobre números poligonales, fragmento de otro tratado del mismo autor. Los libros faltantes parece que se perdieron tempranamente ya que no hay razones para suponer que los traductores y comentaristas árabes dispusieran de otros manuscritos además de los que aún se conservan.

En esta obra realiza sus estudios de ecuaciones con variables que tienen un valor racional (ecuaciones diofánticas), aunque no es una obra de carácter teórico sino una colección de problemas. Importante fue también su contribución en el campo de la notación; si bien los símbolos empleados por Diofanto no son como los concebimos actualmente, introdujo importantes novedades como el empleo de un símbolo único para la variable desconocida (στ) y para la sustracción, aunque conservó las abreviaturas para las potencias de la incógnita (δς para el cuadrado, δδς para el duplo del cuadrado, χς para el cubo, δχς para la quinta potencia, etc.).

En 1621 vio la luz una edición comentada de Bachet de Meziriac, edición reimpresa con posterioridad en 1670 por el hijo de Pierre de Fermat incluyendo los comentarios que el célebre matemático francés había realizado en los márgenes de un ejemplar de la edición de Bachet que poseía. En una de dichas anotaciones se exponía, sin demostración, el último teorema de Fermat.

Obtenido de “http://es.wikipedia.org/wiki/Diofanto_de_Alejandr%C3%ADa

Una de las contribuciones importantes de Diofanto corresponde al campo de la notación. Los historiadores de la matemática distinguen tradicionalmente tres etapas en el desarrollo del álgebra: palabras, (b) la etapa intermedia o sincopada , en la cual se utilizan algunas abreviaturas y (c) la etapa final o simbólica. El álgebra de Diofanto se ubica de plano en la segunda de estas categorías. Los signos utilizados en la Arithmetica no son, en realidad, símbolos algebraicos, como los concebimos actualmente, sino abreviaturas (por ejemplo, para cada potencia de la incógnita existía un signo especial).

De él ha llegado hasta nosotros Sobre los números poligonales (o Numeris Multangulis), Porismas (que se cree formaba parte de la Arithmetica), Sobre los números fraccionarios y la Arithmetica.

La Arithmetica no es propiamente un texto de álgebra sino una colección de problemas (150). No se sabe cuantos de ellos son originales o tomados de otros tratados de la época; Diofanto presenta en todos ellos una solución única y no establece distinción entre problemas determinados e indeterminados. Tampoco existe ningún orden en cuanto a la naturaleza de los problemas o los métodos de resolución

  Arithmetica Libro I   Contiene 25 problemas de primer grado y 14 de segundo.

  Arithmetica Libro II   Consta de 35 problemas. El problema 8, sin duda el más famoso, dió lugar al llamado “teorema de Fermat”

II. 8 Descomponer un cuadrado en dos cuadrados
“Si queremos descomponer 16 en dos cuadrados y suponemos que el primero es 1 aritmo, el otro tendrá 16 unidades menos un cuadrado de aritmo, y, por tanto, 16 unidades menos un cuadrado de aritmo son un cuadrado.
Formenos un cuadrado de un conjunto cualquiera de aritmos disminuido en tantas unidades como tiene la raiz de 16 unidades, y sea el cuadrado de 2 aritmos menos 4 unidades. Este ciadrado tendrá cuatro cuadrados de aritmo y 16 unidades menos 16 aritmos, que igualaremos a 16 unidades menos un cuadrado de aritmo y sumando a uno y otro lado los téminos negativos y restando los semejantes, resulta que 5 cuadrados de aritmo equivalen a 16 aritmos y, por tanto, 1 airtmo vale 16/5; luego uno de los números es 256/25 y otro 144/25, cuya suma es 400/25, es decir 16 unidades y cada uno de ellos es un cuadrado”

Diofanto resuelve la ecuación

x 2 + x 2 = 16

haciendo y 2 = 16 – a 2 que identifica con una expresión de la forma (ka – 4) 2 y haciendo k = 2 obtiene

y 2 = 16 – a 2 = (2a – 4) 2

e identificando llega a a = 16/5 de donde x = 16/5 e y = 12/5

  Arithmetica Libro III   Consta de 21 problemas. El más famoso es el 19 en el que por primera vez acude a la geometría para solucionarlo.
III. 19 Encontrar cuatro números tales que el cuadrado de la suma de los cuatro, aumentado o disminuido en cada uno de ellos, forma un cuadrado.

  Arithmetica Libro IV   Casi todos los problemas de este libro (40) se refieren a números cúbicos. Como lo griegos no conocían las fórmula de la ecuación cúbica, la sagaz elección de los datos por parte de Diofanto hace que se llegue a una solución aceptable. Y como muestra un botón
IV. 1 Descomponer un número dado en dos cubos cuya suma de raíces sea dada
“Si el número es 370 y la suma de las raíces 10, supongamos que la raíz del primer cubo es 1 aritmo y 5 unidades, o sea: la mitad de la suma de las raíces. Por tanto, la raíz del otro cubo será 5 unidades menos 1 aritmo; luego la suma de los cubos valdrá 30 cuadrados de aritmo más 250 unidades que igualaremos a las 370 unidades del número dado, de donde se deduce que 1 aritmo tiene 2 unidades; la raíz del primer cubo tendrá entonces 7 y la del segundo 3, y, por consiguientes, los cubos serán 343 y 27”

Con la notación actual, Diofanto resuelve el sistema formado por las ecuaciones

x 3 + y 3 = 370
x + y = 10

Para lo que supone que x = aritmo + 5 y que y = 5 – aritmo . (en lo que sigue designaremos el aritmo por a).
Sustituyendo estas expresiones en la primera ecuación y desarrollando tendremos:

(a + 5) 3 + (5 – a) 3 = 30 a 2 + 250 = 370

y para a = 2 obtiene x = 7, y = 3.

  Arithmetica Libro V   La mayoría de los problemas propuestos (28 de los 30 que tiene el libro) son problemas de segundo y tercer grado. En el último, el 30, Diofanto se aparta de su costumbre y propone un problema de los que hoy denominaríamos de “mezclas”
V. 30 Una persona se embarcó con sus sirvientes, quienes le encargaron que les fuera útil. Mezcló garrafas de vino, unas de 8 dracmas y otras de 5, y pagó por todo un número cuadrado que, aumentado en el número de unidades que se te indicará, 60, hará que tengas otro cuadrado cuya raíz es el número total de garrafas. Averigua cuántas había de 8 y cuántas de 5 dracmas”

  Arithmetica Libro VI  . Dedicado a resolver triángulos rectángulos de lados racionales; consta de 24 problemas.

En honor de Diofanto las ecuaciones con coeficientes enteros cuyas soluciones son también enteras se denominan ecuaciones diofánticas. Las más sencillas son las ecuaciones lineales con dos incógnitas de la forma Ax ± By = C

Diofanto, Fermat y la Arithmetica han estado estrechamente relacionados a lo largo de la historia de las matemáticas. Todo empezó cuando Fermat, en su ejemplar de la Arithmetica, escribió al lado del problema 8 del Libro II:

Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere cuius demostrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet

Es decir, que la ecuación

x n + y n = z n

no tiene soluciones enteras para n > 2.
En el caso n = 2 una solución es
(x, y, z) = (3, 4, 5) y ya se conocía desde la Grecia clásica.
En general pueden obtenerse estas ternas, denominadas pitagóricas, a partir de la expresión

x = 2n + 1
y = 2n 2 + 2n
z = 2n 2 + 2n + 1

para n = 1, 2, 3, …
En Euclides. Elementos X 28 Lema I aparece la expresión general de estas ternas:

x = a 2 – b 2
y = 2ab
z = a 2 + b 2

Sin embargo, la demostración de esta proposición ha sido, hasta hace poco, el problema más famoso, al menos más popular, de las matemáticas y a su resolución se haya unido el nombre de grandes matemáticos.
Al mismo Fermat se le atribuye una demostración para el caso n = 4 y a Euler una para n = 3. Dirichlet (1805-1859) y Legendre (1752-1833) también intevinieron y probaron la proposición para n = 5
Y muchos otros como Sophie Germain, Lamé, Kummer, Gerd Faltings (que por sus aportaciones recibió en 1986 una medalla Fields) pero esta columna es demasiado estrecha para contenerlos a todos. En 1995 el inglés Andrew Wiles lo logró para unos y es discutible para otros.

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