La Aritmética de Diofanto (1)

Voy a abrir una nueva categoría dedicada a la Aritmética de Diofanto ya que es uno de los primeros matemáticos que más problemas interesantes planteó. Fue estudiado por todos los grandes matemáticos y en un libro de una de sus traducciones escribió Fermat su último y famoso Teorema.

Aunque es más bien una colección de problemas más que un libro de teoría, es interesante ir paseando por los problemas tratando de sacarles todo el jugo a la teoría subyacente.

La dedicatoria de la Aritmética está dirigida a Dionisio:

“Como sé muy honorable dionisio, que quieres aprender a resolver problemas numéricos, he emprendido la tarea de exponer la naturaleza y el poder de los números, comenzando por los fundamentos en  los que se basan estas cuestiones. Esto puede parecer, a primera vista, muy difícil, porque no es en absoluto conocido todavía. Los principiantes son propicios a desanimarse fácilmente. pero a tí te será fácil entender el tema gracias a tu entusiasmo y a mis explicaciones, ya que deseo unido a la enseñanza conduce rápidamente al conocimiento …”

Diofanto empieza su libro, después de la dedicatoria dando algunas definiciones que resultan bastantes obvias hoy en día, como las definiciones de cuadrados, cubos, incógnitas, constante, fracciones, multiplicaciones, ecuaciones, etc… utilizando una notación propia, que no merece la pena contar aquí, pues no se corresponde con la notación que utilizamos hoy en día.

Lo mejor es pasar directamente a los problemas que sí son interesantes:

PROBLEMA 1

Descomponer un número (entero) dado en dos partes (enteras) cuya diferencia sea dada

Es decir:   Determinar x e y, dados a y d en las ecuaciones: x + y = a ; x – y = d

es un ejemplo claro de un sistema de dos ecuaciones lineales con 2 incógnitas, por lo que es sencillo de resolver:

de la primera ecuación obtenemos y = a – x y sustituyendo en la segunda ecuación obtenemos: x – (a – x) = d

lo que implica que 2x -a = d => x = (a + d) / 2

sustituyendo en la segunda ecuación resulta: (a + d) / 2 – y = d => (a + d) – 2y = 2d => a + d – 2d = 2y => y = (a – d)/2

Un ejercicio interesante de realizar a partir de este problema es averiguar qué condiciones deben cumplir a y d para que las soluciones x e y sean enteras.

¿Se atreve alguien a proporcionar la solución en un comentario?

El problema se puede generalizar a cualquier número de partes, es decir:

Descomponer un número (entero) dado en un número de partes (enteras) cuyas diferencias mutuas sean dadas

Es decir:   Determinar x1 < x2 <…< xn, dados a y d2,..dn, en las ecuaciones:

x1 + x2 +…+ xn, = a

xj – x1 = dj (j= 2, …, n)

en este caso es un ejemplo de sistema de n ecuaciones con n incógnitas:

¿Se atreve alguien a resolverlo en un comentario?

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