Aritmética (1). Números Naturales

La Aritmética es la parte de la ciencia Matemática que estudia los Números, sus propiedades y las operaciones que pueden llevarse a cabo con ellos.

El concepto de Número surge de la intuición humana de Unidad, base fundamental de todo sistema que tenga en cuenta los números.

El inicio de la Aritmética está en la necesidad que se le plantea al hombre de medir los objetos y las agrupaciones de objetos (conjuntos) que hay a su alrededor. Esta medida de cantidades es la acción de Contar. Es para contar para lo que el hombre necesita los números. Contar el número de elementos de los conjuntos de objetos que tiene a su alrededor. Usamos pues los números constantemente: para medir, para expresar porcentajes, para llamar por teléfono, para comunicarnos precios, cantidades, etc..

Los números que usamos para contar objetos son los llamados Números Naturales: 1,2,3,4,.. Los números naturales han existido desde la más remota antigüedad, porque el concepto de Unidad es algo intuitivo y contar esas unidades era una necesidad elemental.

El acercamiento al concepto de número se lleva a cabo desde el conocimiento generado por tres teorías:

  1. Teoría Analítica. Explica todos los tipos de números a partir de la noción de Número Natural. Según esta teoría, todas las clases de números, definidas como pares creados en un conjunto a partir de una relación precisa, derivan del Número Natural. De esta manera, los números Enteros pueden ser vistos como pares de números naturales y los números Racionales, como pares de las distintas clases de números Enteros.
  2. Teoría Sintética. Define las operaciones aritméticas como imágenes de las operaciones que se pueden llevar a cabo con conjuntos.
  3. Teoría Axiomática. Llamada también Axiomática del Número Natural, porque toma su base de un conjunto de axiomas sobre los que se construyen las definiciones de las operaciones con números naturales. Este cuerpo teórico enuncia que en el conjunto de los números naturales (N) existe un elemento 1 que se llama uno que es el primero de una sucesión del cual no existen elementos predecesores. Tomando el elemento uno como punto de partida, se obtienen todos los demás, que se construyen por medio del recurso de añadir una unidad al elemento predecesor.

Cada civilización ha escrito los números de manera diferente: Los egipcios lo hacían mediante símbolos jeroglíficos, los babilonios, con su escritura cuneiforme, los romanos, con un sistema de letras, los mayas utilizando puntos y líneas horizontales.

No sólo los símbolos usados eran diferentes, también el modo mismo de representarlos: unos usaban el sistema sexagesimal, otros el de base 20, etc.

El sistema de numeración que utilizamos es el Decimal Posicional, con cifras del 1 al 9, que tuvo su origen en la India en el siglo IX, aunque a nosotros nos llegó de la mano de los árabes hacia el siglo X.

El Número Cero es el que representa el número de elementos del Conjunto Vacío, es decir, la ausencia de objetos. Tardó algunos años en descubrirse. Si finalmente surgió, fue más por una necesidad para resolver los problemas concretos de escritura y manipulación de los números que como necesidad para contar. Desde su invención, el cero forma parte también de los Números Naturales.

Para representar el conjunto de todos los Números Naturales se usa la letra N:

N = {0, 1, 2, 3, …}

Los Números naturales tienen una propiedad fundamental: cada número tiene su siguiente. Los conjuntos que tienen esta propiedad de que sus elementos pueden enumerarse empezando por uno de ellos, de modo que cada uno tenga un siguiente perfectamente definido, se llaman “numerables“.

Una consecuencia importante de la propiedad de numerabilidad es que hay infinitos números naturales. Siempre podemos seguir contando, añadir uno más. Con esto tocamos un tema difícil de entender: el concepto de Infinito. Todas las cantidades que pretendamos contar en la naturaleza son finitas, por lo que el Infinito no es necesario para contar.

Otra propiedad importante de los números naturales es que están ordenados. tomados dos números cualesquiera, siempre hay uno de ellos que es mayor que el otro.

Published in: on 25-abril-2008 at 5:23 pm  Dejar un comentario  
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